理解线性代数核心算法:矩阵乘法就是“跃迁运动”

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路过小子 发表于 2019-4-12 22:39:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
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线性代数到底在讲什么?

不理解的知识,当然不会用!

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版,10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法

上节课我们理解矩阵乘法,得到一个结论:

矩阵乘法就是:方法x对象。

这节课我们从“运动”的角度来进一步诠释这个结论。

运动,是一种方法;坐标系,是一个对象。

矩阵乘法完成的是“坐标变换”

直接上一个实例:

这里,A与C都被“可视化”了出来,所以一目了然,我们发现,矩阵的形状没有变化,只是旋转了一下。

这就是运动

这里的运动,与微积分中所描述的“连续的运动”不同,是“突变”,是“瞬间移动”,所以,矩阵乘法描述的,是量子力学中的——

“跃迁运动”

量子跃迁,是一个量子物理学中的术语。它是指电子从原子的一个轨道跳跃到另一个轨道上的过程,这一过程是不连续的,也就是不存在电子处于两个轨道之间的状态。

深入理解

上面例子再放一遍,我们再从另一个角度理解一下:

C=BA

我们还可以将等式这样理解,C和A的本质是一个对象,只不过是在不同坐标系下的描述。

把等式改写一下,更好理解:

IC=BA

I就是指[10;01]这个标准坐标系啦。

这个等式的意思是,同一个对象,在I中表示时,写成C,在B中表示时,写成A。

(对象/运动的本质是同一的,只是坐标系不同。)

左图中的坐标系,其实是B;或者说,左图中的X轴,就是[01],而Y轴就是[-10],这时,把左图中的坐标系放在真实的坐标系(右图)中,是不是就是向左旋转90度啦?

这里不太好理解,最好能在纸上画一画,感受一下。

是不是有点像变量类型声明

对于学过编程的同学来说,上面的例子是不是有一点像变量的声明:

IC意思是声明了一个C,在I坐标系下表示;

BA意思是声明了一个A,在B坐标系下表示。

只用一个等号,就完成了一次坐标系的瞬间移动,即“跃迁运动”。

所以IC=BA的解释是:

一个对象,它在I坐标系中表示为C,它在B坐标系中表示为A。

或者:

一个对象,在I坐标系中表示为C,“跃迁运动”到B坐标系中,变成A了。

{!--PGC_COLUMN--}对象与运动的统一

这个思想在第一节中没有明确的提出,但是我们说过——

一切都是矩阵。

对象是矩阵,运动也是矩阵。

  • 这是线性代数能发挥威力的最大原因!
  • 这是线性代数系统的最主要思想!
  • 这是线性代数为什么难以理解的地方!

而,运动是相对的,所以——

矩阵乘法,既可以理解为对象瞬间跃迁到另外的一个坐标系了,也可以理解为对象没有动,而用于表示它的坐标系瞬间变更了。

世界就是这么对立而统一,动与静在这里统一了。

有点玄了,下节课会具体一些,从维度角度再进一步深入理解矩阵乘法,并且可以顺便理解信息论中的一些概念。

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版,10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法