理解微积分真谛:傅里叶展开——频域下的谐波仿真系统

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aszaaaa 发表于 2019-4-12 22:43:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
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微积分其实很简单!

只有理解,才会应用!

本专栏将和您一起,从最通俗易懂的角度,用最易于理解的方法,真正内化吸收微积分的核心概念与算法,帮您轻松掌握与应用!

精要复习

前面我们讲了导数/微分:

“导数”是函数的原因,函数是“导数”的结果。

进一步,借助泰勒展开公式加深了对导数“原因”作用的认识。

泰勒展开公式,是对展开点附近的函数,进行的一个“误差可控多项式仿真”

最后引出了积分:

不定积分,是把函数降维投影,求到了一系列的投影F(x)+C。

定积分,是“原因”f(x)经过一段过程(atob)所造成的结果改变。

有了上面的理解与基础,今天来介绍神奇的——傅里叶展开

谐波

正弦函数与余弦函数,统一称为:

谐波函数

优美而和谐的波

从图中我们看,两个函数还用得着统一吗?明明就是同一个函数,只不过“相位”不同而已

从动图中也能感受到,为啥它叫“谐”波,因为这种波太优美了,优美得只能用“和谐”这个词来形容了。

谐波——自然之道

第4课咱们说,sin函数是一个硬壳,没办法直接算,这才引入了泰勒展开,让计算成为可能。

这种硬壳函数在数学中非常之少,为啥谐波函数能存活下来还非常之重要呢?

sin函数需要泰勒展开才能计算

因为,谐波是自然界的大道

首先,世界由波组成,我们熟悉的有水波,声音是振动波,颜色是光波,电磁波,地震波,应力波,引力波,等等。

引力波理论已被证实

而谐波是所有波中,最“和谐”的,它有一个重大的特性:

谐波的导函数还是谐波,谐波的原函数还是谐波!

比如,sin'(x)=cos(x)=sin(x+pi/2),意思是,正弦的导函数还是正弦,只不过导函数要早了pi/2(1/4个周期)。

就好像,谐波函数“把球传给了2秒后的自己”一样!

(所以,谐波函数还是微分方程y"=-y的解,后续再详细讲)

谐波——命运启迪

谐波如此神奇,它甚至在许多人生哲学中有类比的描述,比如《易经》乾卦的六部分,可以对应在一个谐波周期上:

纯属个人爱好和浅见,卦辞原文如下:

初九:潜龙勿用。

九二:见龙在田,利见大人。

九三:君子终日乾乾,夕惕若厉,无咎。

九四:或跃在渊,无咎。

九五:飞龙在天,利见大人。

上九:亢龙有悔。

人生命运就像这谐波函数,必然是有起有伏。

人在逆境中为什么能坚持有毅力,就是因为他看到了命运的周期,逆境将要过去,顺境将要来临,这才有动力坚持住。

也是想提醒身处逆境的读者,物极必反,否极泰来,不抛弃不放弃,直到辉煌。

”祸兮,福之所倚;福兮,祸之所伏。“

——《道德经》

所有波都可以分解到谐波

说了不少个人的感悟,其实想表达世界人生都有“波”的真理,而所谓“波”的本质即是“周期函数”,周期的倒数即为频率,所以世界是由各种频率构成的。那么就有一个朴素的想法——

任意一种波,是否能分解成不同频率的谐波的叠加呢?

答案是可以,这就是傅里叶展开

就是说,任意一种周期函数f,都可以这样分解:

其中,a0就是代表一个基准线常数,而剩余部分都是由谐波函数组成的。

频域上的谐波叠加仿真系统

先上个实例:

方波是比较常用的周期函数,就长下面这个样子:

根据傅里叶展开,分解出前4项谐波,并把它们叠加在一起,可以看出:

叠加项越多,越接近原始方波。

其实,这跟泰勒展开是一致的,越到后面的项,起作用就越小

最右边那一列是什么呢?叫做——

频谱

把时域的信息,变成频域信息了。图中表示了每一谐波项的频率(横轴)和幅值(纵轴)。

我们日常生活中,接触过类似频谱这样的图么?

有啊,这不就是——

乐谱不正是频谱么

每个音,无非就是指一个特定的频率啊,相当于一个频率值代替了一个周期性的声波信息

频谱的发明非常有利于傅里叶分解得到的谐波项的观察,如下面动态过程展示:

傅里叶展开,是通过不同频率谐波叠加的方式,对任意周期函数进行仿真的系统。

应用举例

既然可以把波分解,那就有很多用处。

比如一台机器,发生了不好的振动,那就把振动信号傅里叶分解出来,找到出问题的频率,然后再查哪个振动源是这个频率呀,就找到问题所在了。

有限元可以计算零件的各阶模态的频率振型

再比如,一个低频信号,不知道为什么,掺入了一些高频的噪音,那么可以采用傅里叶分解的方法,分解后直接将高频的部分舍去,就OK了,这就叫低通滤波

频率是来自高维的信息{!--PGC_COLUMN--}

一个波,只对应于一个表示频率的数字,所以频率是来自于高维的信息,它简洁有力,又有很强的决定性作用。

音调是频率,颜色也是频率,人类把它们排列组合,感受到了来自高维的美感,形成了音乐和美术。

波粒二象性分别对应展开

正如微积分与线性代数分别适合于经典物理世界与量子物理世界一样,对于物质的两种形态:波与粒,也分别如下对应:

粒子性——泰勒展开,分析运动的因果;

波动性——傅里叶展开,分析频率的构成。

两者都是仿真系统,在有限项时,都会有误差,但是也有区别:

泰勒着眼于从一点x0展开,离该点越远误差越大,而且完全是逼近式仿真,不能解析原函数的本质特性

傅里叶着眼于全局,也是基于原函数的周期性,所以从频域出发,分解出了各个频率,从频域的角度找到了原函数的本质特性

泰勒更像是计算仿真,而傅里叶更像是原理仿真

傅里叶展开的MATLAB源码

在MATLAB中,以及在Maple中,均没有傅里叶展开的直接函数,但是我们可以依照公式写一个出来,下面源码来自清华大学出版社——《高等应用数学问题的MATLAB求解》(第二版61页)

function[A,B,F]=fseries(f,x,p,a,b)ifnargin==3,a=-pi;b=pi;endL=(b-a)/2;ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);endA=int(f,x,-L,L)/L;B=[];F=A/2;forn=1:pan=int(f*cos(n*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(n*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);endifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);end调用格式为:[A,B,F]=fseries(f,x,p,a,b)

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