数学物理问题:雨中走路和奔跑哪种方式淋雨更多?

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秋色烽火 发表于 2019-4-12 22:56:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
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这个问题不但是一道物理竞赛问题,还是一道经典的数学建模问题,可以通过建立数学模型来对此进行求解。

为了方便建模,把人简化成一个长方体。并假设人的奔跑速度为匀速的v,人的淋雨量为w,人在雨中的行进距离为d,行进时间为t(d/v)。雨水迎面的下落速度为匀速的u,雨水的平均密度为ρ,雨水与地面的夹角为θ。

由此可以计算出,雨水相对于头顶的垂直速度分量为vy=usinθ,雨水相对于身体前方的水平速度分量为vx=ucosθ+v。头顶的淋雨面积s1=ab,身体的淋雨面积s2=bh。因此,人的总淋雨量就是头顶淋雨量和身体前方淋雨量之和。

头顶的淋雨量为:

身体前方的淋雨量为:

总的淋雨量为:

显然,∂w/∂v<0,这意味着随着速度v的增加,淋雨量w在逐渐减小。并且如果人的身体与雨水平行,理论上只有头部会受到淋雨。因此,在最为理想的情况下,对于没有带伞的人来说,在雨中奔跑的速度越快,并且身体的倾斜方向刚好跟雨水平行,那么,这个人所淋到的雨水是最少的。

为了便于计算,模型做了很多简化,最终得出的结论也是符合实际的。关于在雨中是应该行走还是快速奔跑,可以考虑两种极端的情况。一种是在雨中以接近于零的速度运动,还有一种是在雨中以接近光速的速度运动。显然,运动相同的距离,在雨中运动的时间越短,所淋到的雨水也会越少。